隨機變(bian)量模(mo)型和隨機過(guo)程模(mo)型是(shi)研究香蕉視頻app在線觀看:應力腐蝕概率的(de)常用模型，本章重點介(jie)紹隨機變(bian)量模型。

一、應力(li)-強度干涉模型

 1942年，Pugsley提(ti)出了(le)采用應力(li)、強(qiang)度(du)分(fen)布(bu)函數曲線的干涉區面積分(fen)析(xi)(xi)失效概率的方法，即(ji)應力(li)－強(qiang)度(du)干涉模(mo)(mo)型，該模(mo)(mo)型在(zai)構件和系(xi)統(tong)的可靠(kao)性分(fen)析(xi)(xi)中得到(dao)了(le)廣泛應用。目前，已成為分(fen)析(xi)(xi)構件和系(xi)統(tong)失效概率的重要模(mo)(mo)型之一。在(zai)結構可靠(kao)性分(fen)析(xi)(xi)中，應力(li)－強(qiang)度(du)（S-R)干涉模(mo)(mo)型應用最廣，模(mo)(mo)型中的S和R的含義不僅僅是力(li)學(xue)分(fen)析(xi)(xi)中的應力(li)和強(qiang)度(du)，二者具有更廣泛的范疇。對于一個系(xi)統(tong)而言，S指的是造成結構破(po)壞的所有因素，即(ji)推動力(li)；R代表了(le)結構抵抗(kang)破(po)壞的能力(li)，即(ji)阻抗(kang)力(li)。

  應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂是(shi)(shi)一種(zhong)低(di)(di)應(ying)(ying)力(li)(li)脆斷(duan)(duan)(duan)，是(shi)(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂和(he)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)兩(liang)種(zhong)機(ji)理(li)相互影響的(de)結果。因此(ci)，當(dang)應(ying)(ying)力(li)(li)還(huan)遠低(di)(di)于斷(duan)(duan)(duan)裂應(ying)(ying)力(li)(li)時就(jiu)能(neng)引(yin)起應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)裂紋的(de)產生和(he)擴展。應(ying)(ying)力(li)(li)作用(yong)降(jiang)低(di)(di)了材(cai)料的(de)耐腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)性能(neng)，而腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)降(jiang)低(di)(di)了材(cai)料的(de)斷(duan)(duan)(duan)裂強度，兩(liang)者是(shi)(shi)互相促進的(de)。也(ye)就(jiu)是(shi)(shi)說，機(ji)械力(li)(li)和(he)化學力(li)(li)的(de)協同(tong)作用(yong)導致了裂紋的(de)擴展，如果只有(you)應(ying)(ying)力(li)(li)或腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)單獨作用(yong)，是(shi)(shi)不會出現應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂的(de)結果。應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)(duan)裂要經(jing)過一定的(de)時間才能(neng)發生，這(zhe)是(shi)(shi)因為能(neng)量積蓄到(dao)使材(cai)料破壞的(de)程度是(shi)(shi)需要時間的(de)，應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)是(shi)(shi)使材(cai)料強度逐(zhu)漸退化的(de)過程，因此(ci)，我們(men)可(ke)以(yi)采用(yong)耐久(jiu)性損傷模型(xing)來描述應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)失效的(de)物(wu)理(li)過程。由(you)S-R干(gan)涉模型(xing)的(de)理(li)論可(ke)以(yi)寫(xie)出結構(gou)的(de)極限狀態方程

  因(yin)此，對于失(shi)(shi)效概率(lv)的(de)研(yan)究(jiu)就轉化為(wei)對強度(du)和應力(li)由于概率(lv)分布(bu)干涉引起的(de)狀態失(shi)(shi)效問題的(de)研(yan)究(jiu)。當fs(s)和fR(r)分別表示應力(li)和強度(du)的(de)概率(lv)密度(du)函數時(shi)，圖(tu)中(zhong)兩者重(zhong)疊(die)部(bu)分面(mian)積反映(ying)了失(shi)(shi)效概率(lv)的(de)大小，如圖(tu)6-1所示。

  假如(ru)最(zui)初應(ying)力(li)(li)與強(qiang)(qiang)度(du)是留有(you)充分(fen)的(de)(de)安全余(yu)量的(de)(de)，那(nei)么經過一定(ding)時(shi)間后，隨(sui)著應(ying)力(li)(li)分(fen)布與強(qiang)(qiang)度(du)分(fen)布的(de)(de)交疊(die)，就(jiu)有(you)失效(xiao)發(fa)生，這種(zhong)情(qing)形可以說是耐(nai)久模型的(de)(de)典(dian)型例子。根據應(ying)力(li)(li)－強(qiang)(qiang)度(du)干涉(she)模型不但能(neng)夠(gou)求解(jie)應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕失效(xiao)概(gai)率，還可以分(fen)析應(ying)力(li)(li)腐(fu)蝕不同階段的(de)(de)概(gai)率情(qing)況，如(ru)裂(lie)紋的(de)(de)萌(meng)生概(gai)率、裂(lie)紋的(de)(de)擴展概(gai)率等。

  當材(cai)料發(fa)生(sheng)腐蝕(shi)后(hou)，隨著時(shi)間的(de)推移，材(cai)料抵抗(kang)破壞(huai)的(de)能力降(jiang)低(di)，而腐蝕(shi)環(huan)境很可(ke)能變(bian)得更加苛刻。例如應(ying)(ying)(ying)力腐蝕(shi)，隨著裂紋的(de)擴展，材(cai)料強度(du)降(jiang)低(di)、裂紋尖端應(ying)(ying)(ying)力集(ji)中區域增大，局部存在侵蝕(shi)性(xing)離子的(de)富(fu)集(ji)，使得廣義應(ying)(ying)(ying)力變(bian)大而強度(du)降(jiang)低(di)，此時(shi)S(t)和(he)(he)R(t)都是與(yu)時(shi)間有關的(de)變(bian)量(liang)，很顯然(ran)，概率(lv)密度(du)函數(shu)也著時(shi)間的(de)變(bian)化而變(bian)化。當強度(du)隨時(shi)間發(fa)生(sheng)衰退時(shi)，強度(du)和(he)(he)應(ying)(ying)(ying)力組成的(de)干涉區域隨時(shi)間變(bian)化會越(yue)來越(yue)大，這意(yi)味著產品可(ke)靠性(xing)在降(jiang)低(di)。

  大多數參數的(de)不確定性與時(shi)(shi)(shi)間有(you)關。發生應力(li)腐蝕(shi)時(shi)(shi)(shi)，構件(jian)所受的(de)廣(guang)義應力(li)一般(ban)是隨機過程，應力(li)稱為(wei)(wei)時(shi)(shi)(shi)間的(de)函數，強度為(wei)(wei)一固定的(de)臨界值，如圖(tu)6-2所示，功能函數應表示為(wei)(wei)

二、應力(li)腐蝕(shi)參數的概率分布估計

1. 變量分布(bu)類型確定(ding)

  采用(yong)S-R模型(xing)分(fen)(fen)(fen)析應力腐(fu)蝕(shi)失(shi)效概(gai)(gai)率時，第(di)一(yi)步是確定應力腐(fu)蝕(shi)的(de)“推(tui)動力”，即S所包(bao)含的(de)參(can)(can)數，包(bao)括(kuo)溫度(du)、侵蝕(shi)性離(li)子(zi)濃(nong)度(du)、pH值(zhi)等(deng)，分(fen)(fen)(fen)析各參(can)(can)數的(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)概(gai)(gai)型(xing)。在進(jin)行(xing)參(can)(can)數的(de)概(gai)(gai)率分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)類型(xing)研究中(zhong)，一(yi)般經過以下步驟(zou)：①. 假(jia)設隨機變(bian)量服從某(mou)一(yi)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)；②. 在假(jia)設分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)基礎上(shang)構建統(tong)計量；③. 根據統(tong)計量的(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)做(zuo)出統(tong)計推(tui)斷，進(jin)行(xing)擬合檢驗；④. 選擇最(zui)優概(gai)(gai)型(xing)。常(chang)用(yong)的(de)統(tong)計量包(bao)括(kuo)均值(zhi)、標準(zhun)差、極(ji)差、變(bian)異系數、偏度(du)等(deng)。正態(tai)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)、威布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)爾(er)（Weibull)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)、指數分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)以及Poisson分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)等(deng)都是應力腐(fu)蝕(shi)概(gai)(gai)率分(fen)(fen)(fen)析中(zhong)經常(chang)用(yong)到的(de)隨機變(bian)量的(de)概(gai)(gai)率分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)類型(xing)。

通常(chang)，直接計(ji)算概(gai)率的(de)密度函(han)數(shu)難度非常(chang)大(da)，常(chang)用的(de)處(chu)理方法是把概(gai)率密度估計(ji)轉化為參數(shu)估計(ji)問(wen)題。因(yin)此概(gai)率密度函(han)數(shu)的(de)確(que)定(ding)是關鍵(jian)，正確(que)的(de)密度函(han)數(shu)是獲(huo)得準確(que)估計(ji)值的(de)重要前提。

2. 參(can)數(shu)的估計和假設(she)檢驗

由于正(zheng)態(tai)分布(bu)(bu)情況發生的(de)(de)(de)(de)比較多(duo)，因此(ci)，以(yi)正(zheng)態(tai)分布(bu)(bu)為(wei)(wei)例加以(yi)說明。參數估(gu)計(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)思(si)路是采(cai)用(yong)(yong)樣本(ben)統計(ji)(ji)(ji)量(liang)(liang)估(gu)計(ji)(ji)(ji)總(zong)體參數。常用(yong)(yong)的(de)(de)(de)(de)參數估(gu)計(ji)(ji)(ji)方法(fa)(fa)有矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)和最大（極大）似然(ran)法(fa)(fa)，除此(ci)之外(wai)，還有最小二乘、貝葉斯估(gu)計(ji)(ji)(ji)等方法(fa)(fa)。矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)不(bu)受變量(liang)(liang)分布(bu)(bu)的(de)(de)(de)(de)影響，這(zhe)也恰恰成為(wei)(wei)該方法(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)缺點(dian)，即變量(liang)(liang)的(de)(de)(de)(de)分布(bu)(bu)信息不(bu)能被(bei)充分利用(yong)(yong)，一般具(ju)有多(duo)個分析結果。與(yu)矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)相反，最大似然(ran)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)使用(yong)(yong)受已(yi)(yi)知(zhi)變量(liang)(liang)概型(xing)的(de)(de)(de)(de)影響，必須在已(yi)(yi)知(zhi)概型(xing)的(de)(de)(de)(de)前提下才能使用(yong)(yong)，而且假(jia)設的(de)(de)(de)(de)概率模型(xing)正(zheng)確性對參數估(gu)計(ji)(ji)(ji)結果影響很大。最大似然(ran)估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)具(ju)有計(ji)(ji)(ji)算簡單、收斂型(xing)好等特點(dian)，在參數估(gu)計(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)(de)(de)應用(yong)(yong)更加廣(guang)泛，其主要計(ji)(ji)(ji)算步驟如下：

  式（6-10)稱為似然方程(cheng)組，求解該方程(cheng)組，得出均值(zhi)、方差(cha)最大似然估計值(zhi)

  以上過程是參(can)數(shu)(shu)(shu)估(gu)計(ji)，下面對(dui)參(can)數(shu)(shu)(shu)假(jia)設檢(jian)驗。與參(can)數(shu)(shu)(shu)估(gu)計(ji)的目的相(xiang)同，參(can)數(shu)(shu)(shu)假(jia)設檢(jian)驗也是根據(ju)樣本信息對(dui)總(zong)體(ti)的數(shu)(shu)(shu)量特(te)征進(jin)行(xing)推斷(duan)。

  假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)檢(jian)(jian)(jian)驗是以(yi)樣本資(zi)料(liao)對總體的(de)(de)先驗假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)是否成立，根據(ju)樣本的(de)(de)統(tong)計(ji)(ji)量檢(jian)(jian)(jian)驗假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)的(de)(de)總體參數的(de)(de)可靠度，同時做出(chu)判(pan)(pan)(pan)斷(duan)(duan)結果，判(pan)(pan)(pan)斷(duan)(duan)結果包括(kuo)接受和(he)拒(ju)絕(jue)。分析過程是：①. 提出(chu)原假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)（要求檢(jian)(jian)(jian)驗的(de)(de)假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)）H0 :F(x)=F0(x)和(he)備(bei)選假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)（如果原假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)不成立，就(jiu)要接受另一個(ge)假(jia)(jia)(jia)設(she)(she)(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當(dang)的(de)(de)檢(jian)(jian)(jian)驗統(tong)計(ji)(ji)量；③. 計(ji)(ji)算觀測值(zhi)；④. 確定(ding)顯著性水平；⑤. 依據(ju)檢(jian)(jian)(jian)驗統(tong)計(ji)(ji)量觀測值(zhi)的(de)(de)位置給(gei)出(chu)判(pan)(pan)(pan)斷(duan)(duan)結果。

在(zai)(zai)以(yi)上分(fen)析(xi)過程中，可能會犯兩類(lei)錯(cuo)誤(wu)：當(dang)H0為(wei)(wei)真時(shi)(shi)而拒(ju)絕H0,稱(cheng)為(wei)(wei)第(di)一(yi)(yi)類(lei)錯(cuo)誤(wu)；當(dang)H0為(wei)(wei)假時(shi)(shi)而接受H0,稱(cheng)為(wei)(wei)第(di)二類(lei)錯(cuo)誤(wu)。犯兩類(lei)錯(cuo)誤(wu)的概(gai)率(lv)通常是矛盾的：一(yi)(yi)個概(gai)率(lv)小了另一(yi)(yi)個概(gai)率(lv)就(jiu)大。在(zai)(zai)實際使用中，我們一(yi)(yi)般限定犯第(di)一(yi)(yi)類(lei)錯(cuo)誤(wu)的概(gai)率(lv)不(bu)超過給(gei)定的α,使犯第(di)二類(lei)錯(cuo)誤(wu)的概(gai)率(lv)就(jiu)可能小。在(zai)(zai)正態總體參數的假設檢驗中，主要(yao)包括均(jun)值的U檢驗和t檢驗、方差的χ2檢驗等。

3. 分布(bu)的假設(she)檢驗(yan)

  上一(yi)小節介紹的(de)(de)是(shi)在總(zong)(zong)體分布已知的(de)(de)情況下，對(dui)分布中的(de)(de)一(yi)些未知參數進行檢驗。但是(shi)，很多時候并不知道總(zong)(zong)體的(de)(de)分布規(gui)律，我們往(wang)往(wang)是(shi)根(gen)據樣(yang)本(ben)來假(jia)設總(zong)(zong)體的(de)(de)分布類型(xing)，因(yin)此，對(dui)于總(zong)(zong)體樣(yang)本(ben)所假(jia)設的(de)(de)分布是(shi)否正確，還需要(yao)檢驗，常用的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢驗方法，其中χ2檢驗應用較多，下面以這(zhe)種方法為例，介紹檢驗過(guo)程。

  χ2檢驗法的(de)分(fen)析過(guo)程是(shi)：①. 提出原假設(she)；②. 檢驗假設(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若(ruo)干個互不相交(jiao)的(de)小區間(jian)把樣本數(shu)據(ju)進行(xing)分(fen)組，通常每個區間(jian)的(de)數(shu)據(ju)不少(shao)于5個，若(ruo)不滿足這一(yi)要(yao)求，可以通過(guo)合并(bing)區間(jian)來達到這一(yi)要(yao)求。假設(she)H0成立，根據(ju)分(fen)組結果計(ji)算(suan)χ2檢驗統(tong)計(ji)量

4. 主要參數的(de)概(gai)率分布

 根據以上分(fen)析步驟(zou)，對應力腐蝕(shi)環境(jing)中(zhong)的(de)離子濃度(du)的(de)統計性進行(xing)分(fen)析。數(shu)據來(lai)自某石化企業的(de)監測數(shu)據。頻率直方圖要將樣本值(zhi)分(fen)為r個不相交的(de)區間(jian)，r值(zhi)可由 Sturges公式確定，并取整數(shu)。r值(zhi)取決于樣本數(shu)n。

  首先，假設各參數(shu)服從正態(tai)分布，并畫出正態(tai)分布的密度(du)函數(shu)曲(qu)線，該計算采用matlab編(bian)程完成(cheng)，計算結果如圖(tu)6-3所示。

  從圖(tu)(tu)6-3可(ke)以看出，pH、氯離子濃(nong)度和硫酸根離子濃(nong)度滿足(zu)正態分(fen)布(bu)(bu)，而亞硫酸根離子濃(nong)度不滿足(zu)正態分(fen)布(bu)(bu)，經過(guo)分(fen)析(xi)，認為滿足(zu)威布(bu)(bu)爾(er)分(fen)布(bu)(bu)，如圖(tu)(tu)6-4所示。

  經過卡方檢驗，在顯著性(xing)水平0.05下，可(ke)以(yi)認為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服從(cong)N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯(lv)離子(zi)濃度服(fu)從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸根離子濃度服從(cong)α=0.5926,β=1.5746的兩參(can)數威布(bu)爾分布(bu)。

  亞(ya)硫酸根離(li)子(zi)濃度(du)(du)服從威(wei)布(bu)爾分布(bu)的原因：亞(ya)硫酸根不穩定，與氫離(li)子(zi)反應，從而濃度(du)(du)逐(zhu)漸減小。

三(san)、失效概(gai)率(lv)計算方法

1. 解析(xi)法

  當應力(li)和(he)強度是比較簡單的(de)(de)變量(liang)時，式（6-4)可(ke)以直接計算(suan)失效(xiao)概(gai)率。在一些研究中，會(hui)出現“干涉面積＝失效(xiao)概(gai)率”的(de)(de)說法(fa)，這(zhe)種說法(fa)是不(bu)正確的(de)(de)。根據(ju)(ju)可(ke)靠(kao)性(xing)理論可(ke)知(zhi)，應力(li)－強度模型中強度大于應力(li)的(de)(de)概(gai)率即為可(ke)靠(kao)度。可(ke)靠(kao)度P可(ke)根據(ju)(ju)下式計算(suan)

  從計算結果可以看出，失效概(gai)率遠(yuan)小于干(gan)涉(she)面(mian)積之和。

2. 數值解析法

  當隨(sui)機變(bian)量較多(duo)時，直(zhi)接求(qiu)解(jie)失效概(gai)(gai)率值(zhi)是很困難的(de)(de)，采用(yong)數值(zhi)求(qiu)解(jie)是一(yi)種(zhong)(zhong)比較好的(de)(de)解(jie)決方法。在(zai)應力(li)腐蝕概(gai)(gai)率計算中，涉及(ji)的(de)(de)隨(sui)機變(bian)量較多(duo)且具有不(bu)(bu)(bu)(bu)同的(de)(de)分布類型，結果難以用(yong)解(jie)析法和近(jin)似(si)法求(qiu)解(jie)，可(ke)以采用(yong)蒙特卡洛（Monte-Carlo)模(mo)擬法。Monte-Carlo模(mo)擬法的(de)(de)特點是：①. 受(shou)研(yan)究問題維(wei)數的(de)(de)影響較小(xiao)；②. 不(bu)(bu)(bu)(bu)受(shou)假設約(yue)束；③. 不(bu)(bu)(bu)(bu)存在(zai)狀態(tai)空間爆炸問題；④. 不(bu)(bu)(bu)(bu)受(shou)變(bian)量數量的(de)(de)影響。因此(ci)，Monte-Carlo法是一(yi)種(zhong)(zhong)處(chu)理高維(wei)動態(tai)失效概(gai)(gai)率問題的(de)(de)方法。

  蒙特卡(ka)洛模擬法(fa)又稱為(wei)隨機模擬法(fa)，基本思想是：